Elementos de Arithmetica/Capítulo 9

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Elementos de Arithmetica
por João José Luiz Vianna


CAPITULO IX THEORIA ELEMENTAR DOS LOGARITHMOS

268. Na primeira parte ,d'este curso, tratando-se do estudo das seis operações elementares, vimos que a addição, a multiplicação e a formação ãe potencias eram operações directas ou de composição ; sendo as outras três, subtracção, ãivisão e extracção ãe raizes, indirectas ou de decomposição.

Podemos ainda classificar essas operações em tres grupos : 1?— aããição e subtracção ; 2?— multiplicação e ãivisão ; 3?— formação ãe potencias e extracção ãe raizes.

As difficuldades de tempo e de trabalho que algumas vezes apresentam as operações pertencentes aos dous nltimos grupos, desappa-recem com o conhecimento de uma outra operação, por meio da qual se consegue reduzir as operações do 2? grupo ás do 1? e as do 3? ás do 2?

A possibilidade d'essas transformações claramente se manifesta, comparando as fórmulas das progressões por differença com as correspondentes das progressões por quociente, reConhecendo-se que as aããições, subtracções, multiplicações e divisões em umas, correspondem a multiplicações, ãivisões, formação ãe'potencias e extracção ãe raizes em outras.

Da indagação dos princípios por meio dos quaes se effectuam essas transformações, originou-se a theoria ãos logarithmos, que por sua importancia é considerada como uma das mais grandiosas concepções do espirito humano.

Consideramos somente a parte elementar d'esta theoria, devendo a Álgebra occupar-se do seu desenvolvimento.

269. Logarithmos são numeros em progressão por ãifferença, correspondendo termo a termo a outros numeros em progressão por quociente ; havendo sempre na progressão por differença um termo zero, que corresponda a um termo igual a um na progressão por quociente.

Assim, considerando as progressões :

-H- 1 : 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : 64 : etc. -í-0.1.2.3. 4. 5. 6. etc.

Os logarithmos dos numeros 1, 2, 4, 8, 16. 32, 64, etc, são 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. O logarithmo de um numero designa-se fazendo preceder o numero pelas letras log ou lg. Assim, logarithmo de 4, logarithmo de 32, escreve-se lg. 4, lg. 32.

O conjuncto das duas progressões constitue um systema de logarithmos.

Podendo-se sempre imaginar uma infinidade de systemas de duas progressões, uma por quociente e outra por differença, correspondendo sempre nellas os termos 1 e 0; segue-se que o numero de systemas de logarithmos é infinito e que em todos elles o logarithmo de 1 é sempre 0.

Os systemas de logarithmos distinguem-se pelas bases.

Base ãe um systema de logarithmos é o numero que nesse systema tiver para logarithmo a uniãaãe.

A base do systema considerado é o numero 2.

Segundo a definição de logarithmos, parece que somente os números 1, 2, 4, 8, 16. 32, 64, etc., termos da progressão por quociente, têm logarithmos.

E, porém, fácil conhecer que todo numero maior que a uniãaãe tem um logarithmo em caãa systema.

Com effeito, inserindo-se entre todos os termos consecutivos da progressão por quociente um grande numero de meios proporcionaes, o mesmo entre cada dous termos consecutivos,a differença entre qualquer termo e o precedente na progressão resultante será menor do que qualqner numero por menor que seja ; e essa progressão, representando uma serie de números que vão crescendo insensivelmente, deve conter todos os números maiores que a unidade até um limite determinado, considerando-se o numero que não se achar na progressão como igual a um dos dous termos d'ella entre os quaes elle estiver compreliendido.

Inserindo-se também entre todos os termos consecutivos da progressão por differença o mesmo numero de meios differenciaes, os termos da progressão resultante serão os logarithmos dos termos correspondentes na progressão por quociente.

Propriedades gcraes «los logarithmos

PRIMEIRA PROPRIEDADE

270. O logarithmo ãe um proãucto ê igual á somma ãos logarithmos ãos factores. Suppondo em primeiro logar um producto de dous factores aeb, demonstremos que

lg. ab = lg. a -j- lg. b

. Consideremos as duas progressões

tt 1 :' q : q2 : q3 : q4 : qB : etc. -i- 0. r. 2r. 3r. 4r. 5r. etc.

Em geral os numeros a e b não são termos' da progressão por quociente, mas se inserirmos entre todos os termos consecutivos d'esta progressão um grande numero de meios proporcionaes, entre esses termos encontraremos os numeros a e b, e quando não appareçam esses numeros existirão outros que poderão ser considerados como iguaes a elles, e a progressão por quociente tomara a seguinte fórma :

H-1 : c : c' : ... : q : d : d' : ... : q2 : a : a' ; ... : q3 : b : b' : ... : q4 : e : e' : ... : x

Inserindo-se também entre todos os termos consecutivos da progressão por differença o mèsmo numero de meios differenciaes, os termos d'essa progressão serão os logarithmos dos termos correspondentes na progressão por quociente, e essa progressão tomará a fórma

-i- o. lgc. lgc'....r.lgd.. lgd'...2r.lga.lga\. .3r.lgb.lgb'...4r.lge.lge'.....lgx

Suppondo na progressão por quociente um termo x, tão distante de b, quanto a dista de 1; na progressão por differença, o termo lgx será tão distante do termo lgb, quanto o termo lga dista de 0, e teremos (260 e 265).

1 : a : : b : X 0. lga: lgb.lgx

Applicando á proporção e á equidifferença as propriedades fun-damentaes respectivas, teremos

x = ab lgx = lga + lgb substituindo na ultima igualdade x pelo seu valor ab, resulta lg. ab = lg. a + lg. b

Facilmente se demonstra a propriedade para um producto de um numero qualquer de factores. Com effeito

lg. abe = lg. ab. c = lg. ab + lg. c = lg. a + lg. b + lg. c. lg. abcd = lg. abe. d = lg. abe -J- lg. d = lg. a + lg. b + lg. c +

+ lg. d.

lg. abede = lg. abcd. e = lg. abcd + lg. e = lg. a + lg. b -j- lg. c -f--f- lg. d -j-lg. e, e assim por diante. "

SEGUNDA PROPRIEDADE *

271. O logarithmo ãe um quociente é igual ao logarithmo ão ãiviãenão menos o logarithmo ão ãivisor.

ãí

Demonstremos que : lg— = ]g. a — lg. b

Representando por q o quociente da divisão de a por b, temes

a

q

b

Sendo o dividendo igual ao divisor multiplicado pelo quociente, vem »

a = bq

Se a e bq são iguaes, os seus logarithmos considerados no mesmo systema também são, e por isso

lg. a = lg. bq

ou

lg. a = lg. b + lg. q. Subtrahindo de ambos os membros da ultima igualdade lg. b, acha-se

lg. q = lg. a — lg. b

a

substituindo q pelo seu valor--, resulta

lg-Y = lg. a —lg.b

TERCEIRA PROPRIEDADE

272. O logarithmo ãe uma potencia qualquer ãe um numero ê igual ao expoente multiplicado pelo logarithnio do numero.

Yianna — Arithmetica 16 »

Demonstremos que lg. a">=:m. lg. a. Com effeito :

lg. am =lg (a. a. a........a)=lg. a+ lg. a+lg. a+........+

-j- lg. a=m. lg. a.

QUARTA PROPRIEDADE

273. O logariíhmo ãa raiz ãe qualquer grão ãe um numero ê igual ao logarithmo ão numero ãiviãião pelo inãice ãa raiz.

lg. a

Demonstremos que lg. a: ^ Representando por b a raiz do gráo m de a, temos

m

VlT=:b

Elevando ambos os membros da igualdade á potencia m, vem

a=b™

sendo as dnas quantidades a e bm iguaes, os seus logarithmos tomados no mesmo systema também são, e por isso

lg. a=lg. bm

on

lg. a=m lg. b

dividindo ambos os membros da ultima igualdade por m, acha-se

m

m

substituindo, na ultima igualdade, b pelo seu valor resulta

lg.j/a =

lg. a

m

As quatro propriedades demonstradas servem para abreviar o calculo. A primeira reduz a multiplicação de dous ou mais numeros á addição de seus logarithmos ; a segunda reduz a divisão de um numero

/ por outro á subtracção de seus logarithmos ; a terceira reduz a formação de uma potencia qualquer de um numero á multiplicação do expoente pelo logarithmo d'esse numero ; e, finalmente, a quarta reduz a extracção da raiz de qualquer gráo de um numero á divisão do logarithmo do numero pelo indice da raiz.

Systema decimal

274. Entre os diversos systemas de logarithmos, em numero infinito, foi adoptado o decimal, isto é, o que tem para base o numero 10.

Nesse systema as progressões são :

-H- 1 : 10 : 100 : 1000 : 10000 : etc.

+ 0.1.2.3. 4 . etc.

Os logarithmos nesse systema são denominados logarithmos ordinários ou de Briggs.

Além das propriedades demonstradas têm os logarithmos no systema decimal as propriedades seguintes :

1? O logarithmo âe uma potencia qualquer ãe 10, ê igual ao expoente ã' essa potencia.

Com effeito : lg. 10m=m. lg. 10=mXl=m.

2a Os logarithmos ãas diversas potencias ãe 10 são números inteiros ; os logarithmos ãos outros números são números incommensuraveis 3 a parte que fica á esquerãa ãa virgula chama-se característica, e a parte que fica á ãireita ãa virgula chama-se mantissa.

3" A caratteristica ão logarithmo ãe um numero consta ãe tantas uniãaães quantos forem os algarismos ão numero menos um.

Representando por A um numero de n algarismos, maior que IO"-1 teremos:

10o-1 <A <10n

e portanto

Ig IO"-1 <lgA. <lg. 10»

ou

n—1 <lg. A <n

O logarithmo de A tem por consequência n—1 unidades na característica. 4* Conhecenão-se o logarithmo ãe um numero, para ter o ãe um outro 10, 100, 1000, etc., vezes maior ou menor, basta sommar cu subtrahir â característica uma, ãuas, tres, etc., uniãaães.

Sendo a o numero do qual se conhece o logarithmo, teremos:

lg. (a X 10) = lg. a + lg. 10 =lg. a+1 lg. (a X 100) = lg. a + lg. 100 =lg. a+ 2 lg. (a X 1000) = lg. a + lg. 1000 = lg. a + 3 etc., etc., etc.

lg.^=lg. a — lg. 10 = lg. a — 1

lg.^=lg. a —lg. 100=lg.a—2

a ~~lg'1000=lg-a-3

etc., etc., etc.

Logaritlimos «las fracções

275. Consideradas as duas progressões do systema decimal prolongadas indefinidamente.

-H-1 : 10 : 100 : 1000 : 10000:..............: oo

-i-0:l. 2. 3 . 4 ............... oo

Sendo cada termo da progressão por quociente igual ao precedente multiplicado por 10, se dividirmos um termo qualquer d'essa progressão por esse numero, teremos o termo precedente, e a progressão por quociente prolongada indefinidamente para a esquerda, tomará a fórma

—:......: —— : — : — : 1 : 10: 100 : 1000 :____: oo

oo 1000 100 10

Na progressão por differença sendo cada termo igual ao precedente mais um, segue-se que conhecido um termo qualquer, para ter o precedente, é necessário subtrahir a unidade do termo conhecido.

Tratando-se, pois, de continuar a progressão por differença para a esquerda, será necessário subtrahir de 0 successivamente 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc., e não sendo possivel effectuar essas subtracções, devemos indi-cal-as do seguinte modo 0—1, 0—2, 0—3, 0—4, etc., e assim se formam os termos —1, —2, —3, —4, etc., e a progressão tomará a fórma

— oo...........—3. —2.—1. 0. 1. 2. 3........oo

Parece, pelo que fica estabelecido, não terem logarithmos as fracções próprias, mas, se considerarmos os termos —1, —2, —3, —4, etc., da progressão por differença como resultados d'essas subtracções, persistindo sempre a definição de logarithmos, concluiremos que Os logarithmos ãas fracções próprias são sempre negativos.

Tubo as de logarithmos

Na organisação de uma taboa de logarithmos é sufficiente que ella tenha os'logarithmos dos números inteiros, porque por meio d'elles se obtém ôs logarithmos das fracções.

É de fácil intuição, que, sendo conhecidos os logarithmos dos números primos, facilmente se obtém os logarithmos dos outros números inteiros, porque ou esses números são productos de factores primos differentes, e os seus logarithmos se obtém por meio da primeira propriedade, ou são productos de factores primos iguaes e os seus logarithmos se obtém por meio da terceira propriedade.

■Vejamos como é possivel construir uma taboa de logarithmos por meio das duas progressões :

-H- 1 : 10 : 100 : 1000 : 10000 :.........

-í-0.1 . 2 . 3 . 4.......

Se inserirmos entre todos os termos consecutivos da progressão por quociente um grande numero de meios proporcionaes, o mesmo entre cada dous termos consecutivos, encontraremos entre esses termos os números 2, 3, 4, 5... .9; 11, 12, 13, 14, 15... .99-, 101, 102, 103, 104,

105.....999 ; etc., ou outros que possam ser considerados como iguaes

aos que faltarem.

Inserindo-se também entre todos os termos consecutivos da progressão por differença o mesmo numero de meios ãifferenciaes, os termos d'essa progressão serão os logarithmos dos termos correspondentes da progressão por quociente. Escolhendo dos termos da progressão por quociente os que representarem os numeros inteiros, e dos termos da progressão por differença os que forem correspondentes aos primeiros, organisar-se-á a taboa de logarithmos, dispondo em uma columna a serie natural dos numeros inteiros e em outra os seus logarithmos, de modo que os termos que se corresponderem nas duas progressões se achem no mesmo alinhamento.

A taboa de logarithmos de Callet contém a parte decimal dos logarithmos dos numeros inteiros desde 1 até 108000, obtendo-se por meio d'elles e approximadamente os logarithmos dos numeros inteiros maiores que 108000. Quanto á característica de cada logarithmo é ella determinada pela simples inspecção do numero, conforme se viu no n. 247. .

O estudo do uso da taboa de Callet, consiste na resolução dos dous problemas seguintes:

1? Dado um numero qualquer inteiro ou fraccionario, achar o seu logarithmo.

2o. Dado um logarithmo qualquer, achar o numero correspondente.

1.° problema

O primeiro problema comprehende seis casos :

1° O numero dado ê inteiro e menor que 1200.

2° O numero ãaão è inteiro, tem quatro algarismos e ê maior que 1200.

3? O numero ãaão é inteiro e tem cinco algarismos.

4? O numero ãaão ê inteiro e tem mais ãe cinco algarismos.

5? O numero dado è uma fracção ordinaria.

6? O numero ãaão é uma fracção decimal.

1? Caso. — Neste caso o numero dado ê encontrado na 1® chi-liade e na columna N; o numero que se achar á sua direita e no mesmo alinhamento, será o seu logarithmo.

Exemplo:

lg. 143=2, 15533604

lg. 1037=3, 01577876

lg. 1112=3, 04610479 2.° Caso — O numero dado é encontrado na taboa seguinte á l.s Chiliade, e o seu logarithmo deve ser encontrado á sua direita e no mesmo alinhamento.

Se á direita do numero dado forem encontrados somente os quatro últimos algarismos do logarithmo, deve-se proeurar os tres primeiros um pouco acima e no espaço em branco.

lg. 3581=3,5540043

lg. 4728=3,6746775

lg. 6935=3,8410465

lg. 9632=3,9837165

3.° Caso. — Procura-se o logarithmo do numero formado pelos quatro primeiros algarismos, considera-se d'esse logarithmo somente os tres primeiros algarismos, e procura-se os quatro últimos na columna representada pelo ultimo algarismo do numero dado, e no mesmo alinhamento em que se achar esse numero.

lg. 39997=4,6010274

lg. 49695=4,6963127

lg. 65298=4,8148999

lg. 96456=4,9843292

4.° Caso. — Separam-se os cinco primeiros algarismos e procura-se o logarithmo do numero representado por elles, multiplica-se a parte separada para a direita pela differença tabular mais próxima, e somma-se a parte inteira do producto com o logarithmo achado.

O calculo dispõe-se assim : seja pedido lg. 65364794 :

65364...... 8153386 0.79

79X67 .....52 _67_ diff. tab.

Ig76536479 = 6,8153438 553

474

52,93

Seja, para segundo exemplo, pedido o lg. 8948676 :

89486....... 9517551 49 diff. tab.

__76X^9._37 0,76

lg. 8948676 = 6,9517588 2 94

34 3 37,24 Póde-se também ver na differença tabular mais próxima os numeros correspondentes aos algarismos separados para a direita, sommar esses numeros e o resultado reunir com o logarithmo achado.

Applicando aos exemplos acima, o calculo dispõe-se assim :

»

65364.. 8153386

7. 47

..9 60

lg. 6536479 = 6,8153439

89486.. 9517551 7. 34 . ..6__29

lg. 8948676 = 6,9517588

5.° Caso.—Procura-se o logarithmo do numerador e o do denominador, subtrahe-se o primeiro do segundo, e dá-se ao resultado o signal menos.

a

Trata-se de demonstrar que lg. —(lg. b—lg. a) Com effeito :

—(lg. b—lg. a)=—(lg. b—lg. a). Exemplo :

lg. — (lg. 389426—lg.47635)=—(5,5904250—4,6779262)

=—0,9124988

6? Caso.—Procura-se o logarithmo do numero dado prescindindo da virgula, subtrahe-se esse logarithmo de um numero inteiro formado de tantas unidades quantos forem os algarismos da parte fraccionaria do numero dado e dá-se ao resultado o signal menos. Trata-se de demonstrar que

lg. 0,004718=—(6—lg. 4718)

Com effeito:

lg. 0,004718=lg.—^^—=—(lg. 1000000—lg.4718)=—(6—lg.4718) iuuuuuu segundo problema

O segundo problema comprehende seis casos:

Io O logarithmo ãaão ê encontrado na Ia. ChUiade.

2° O logarithmo dado ê encontrado na taboa e na columna O.

3? Os tres primeiros algarismos do logarithmo dado são encontrados na columna 0 e os outros quatro em uma ãas outras columnas.

4? O logarithmo ãaão não é encontrado nas taboas.

5? O logarithmo ãaão é negativo e peãe-se a fracção orãinaria cor-respondente.

6? O logarithmo ãaão é negativo e peãe-se a fracção ãecimal correspondente.

1? Caso.—O numero pedido é encontrado na columna N e no mesmo alinhamento em que se acha o logarithmo dado.

0,95424251=lg. 9 l,92941893=lg. 85 2,74741181=lg. 559 3,06707086=lg. 1167

2? Caso.— Procuram-se os tres primeiros algarismos do logarithmo dado entre os números isolados que estão na columna 0 da 2a taboa, procurando depois os quatro últimos algarismos no mesmo alinhamento ou um pouco abaixo, entre os números de quatro algarismos que estão na mesma columna ; o numero que se acha na columna N, correspondente aos quatro últimos algarismos, será o numero pedido.

3,2960067=lg. 1977 3,6150026=z:lg. 4121 3,9136019=lg. 8196 3,9888264=lg. 9746

3? Caso.— Os quatro últimos algarismos, não sendo encontrados na columna 0, procuram-se em uma das outras columnas e no mesmo alinhamento do proximamente menor; o algarismo, que corresponder ã columna em que se acharem os quatro últimos algarismos, escreve-se á direita do numero que estiver na columna N e no mesmo alinhamento ; o resultado será o numero pedido.

4,6830191=lg. 48308

4,7350378=lg. 54455

4,7970011=lg. 62806

4,8026848=lg. 63487

4? Caso.— Não sendo encontrado nas taboas o logarithmo dado, procura-se o proximamente maior e o proximamente menor, assim como também o numero correspondente ao proximamente menor; subtrahe-se o proximamente menor do logarithmo dado e do proximamente maior, divide-se a primeira differença pela segunda, escrevem-se os tres primeiros algarismos do quociente á direita do numero correspondente ao proximamente menor, e separam-se no resultado, para a esquerda, tantos algarismos mais um quantas forem as unidades da característica. Achar o numero correspondente ao logarithmo: 2,4674325. O logarithmo proximamente maior é 2,4674453. O logarithmo proximamente menor é 2,4674305. O numero correspondente ao logarithmo proximamente menor é 29338.

A differença entre o logarithmo dado e o proximamente menor é 20, e a differença entre os logarithmos proximamente maior e menor ê 148 ; sendo o quociente da divisão do primeiro resultado pelo segundo igual a 0,135, o numero pedido será 293,38135.

Este processo funda-se no principio : A differença entre ãous nu-» meros ê proporcional á differença entre os seus logarithmos, aehanão-se os dous numeros muito proximos um do outro,

Com effeito

1 : x—29338 : : 148 : 20

d'onde

x-29338=— 148

ou *

x=29338+— n 148

ou ainda

x=29338135 ou, finalmente, attendendo á característica

x=293,38135

5? Caso.—Procura-se o numero correspondente ao logarithmo dado, prescindindo do signal e por elle se divide a unidade.

Demonstremos que :

1

—4,58077783=lg.-

38706 Com effeito

—4,5877783=0—4,5877783=lg. 1—lg. 38706=lg. 1

38706

6? Caso.—Subtrahe-se o logarithmo dado de um numero inteiro que lhe seja superior, procura-se o numero correspondente ao resto e separam-se nesse numero, para a direita, tantos algarismos quantas forem

as unidades do numero inteiro do qual subtrahimos o logarithmo dado.

%

Exemplo : Achar o numero correspondente ao logarithmo —1.4067139.

Subtrahindo o logarithmo dado do numero 2, acha-se 0,5932861; procurando nas taboas o numero correspondente a esse resto, acha-se 3,92 ; mudando a virgula para a esquerda dous algarismos, teremos o numero pedido 0,0392.

Com effeito:

—1,4067139=0—1,4067139

Sommando ao minuendo 0 o numero 2, teremos

0,5932861=2—1,4067139

£

E como o resto ou o logarithmo dado fica augmentado de duas unidades, o numero correspondente fica 100 vezes maior ; por isso é necessário tornal-o 100 vezes menor, o que se consegue mudando a virgula para a esquerda dous algarismos. ou «11 ou ou

Applicação dos logarithmos

1! applicação Achar por logarithmos o valor de n na fórmula 7=ar n—1 ♦ lg. l=lg. ar n—1

lg. í=lg. a + lg. rn—1 lg. 1=lg. a + (n—1) lg. r lg. Z=lg. a + nlg. r—lg. r

lg. I + lg. r — lg. a=n lg. r

d'onde

_lg. I + lg. r — lg. a lg. r

2! applicação

Achar o 12? termo da progressão • - ■ —•

" 3 ' 18 ' 108 ' ' "

7

Chamando l o 12? termo da progressão cuja razão ê—, teremos pela formula l = ar n-x

-x(-l)"

ou

ou ou ou ou

l-

"' 6

lg. I— lg. 2+11 (lg. 7—lg. 6)=

=0,30103000+11 (0,84509804—0,77815125) lg. 1=0,30103000+11X0,06694679 lg. Z=0,30103000+0,73641469 lg. 1=1,03744469 1=10,9005 Complementos logaritlimicos

276. Algumas vezes os cálculos numéricos dependem de addi-ções e subtracções de logarithmos. Estas duas operações podem re-duzir-se a uma addição, empregando os complementos logarithmicos.

Complemento ãe um logarithmo è a ãifferença entre o numero 10 e esse logarithmo.

O complemento de um logarithmo se obtém subtraindo de 9 as unidades representadas pelos diversos algarismos do logarithmo, exceptuando as representadas pelo ultimo algarismo, significativo da direita, que se subtraem de 10.

Designando o complemento de um logarithmo por Cl, temos: Cl- lg. 32199=C1. 4,5078424=10—4,5078424=5,4921576.

Suppondo que se tenha de effectuar sobre os logarithmos L, L', L" eL'" o seguinte calculo

L—L'-j-L"—L"'

evidentemente

L_L'+L"—L'"=L+(10—L')+L"-f(10—L"')—20=L+C1. L'-f

-f-L"+Cl. L'"—20

Do resultado podemos estabelecer a seguinte

Regra.—Sommam-se os logarithmos aããitivos e os complementos ãos logarithmos subtractivos, e ãa somma subtrahem-se tantas ãezenas quantos complementos se tomarem.

REGRA DE JUROS COMPOSTOS

277. A regra ãe juros compostos tem por fim ãeterminar o rendimento proãuzião por uma quantia no fim ãe um certo tempo, quando o juro vencião por essa quantia na uniãaãe ãe tempo, ê accumulaão ao capital para com elle render um novo juro.

Representando por c o capital primitivo, por i a taxa de juros e por t o tempo, trata-se de achar a somma do capital e juros accumulados, isto é, de conhecer no fim de t annos qual a somma do capital e juros de juros. A quantia c no fim do segundo anno rende ; reunindo esse rendimento ao capital primitivo, fica elle transformado em

representando por c' a somma do capital e juros accumulados no fim do primeiro anno.

A quantia c' no fim do segundo anno rende —; reunindo esse rendimento ao capital c', fica elle transformado em

oo tincs^

chamando c" a somma do capital e juros accumulados no fim do segundo anno.

c"i

A quantia c" no fim do terceiro anno rende ; reunindo esse

100 '

rendimento ao capital c", fica elle transformado em

® .»+£=.»( i-fiH-OSO

e assim por diante.

Substituindo nas igualdades (2 e 3) em logar de c' e c" os seus valores, temos

c+ r°o=c(1+T5s) = c(!^r)

_ /100-H \ / lOO+i \ _ / 100+1 \2

c \ 100 / \ 100 / ~~ c \ ~ 100 )

T 100 \ ^ 100 / V 100 ;

_ / 100+i \2 / 100-f-i V_ / 100—j-í \ 3

C \ 100 / \ 100 ) ° \ 100 /

Se no fim do primeiro anno a somma do capital e juros accumulados écí 1C~- ); se no fim do segundo anno a somma do capital e juros accumulados éc| ; se no fim do terceiro anno a somma

do capital e juros accumulados éc|' ^ ; no *fim de t annos a somma do capital e juros accumulados será, chamando C essa somma,

C = c(^±i) \ 100 /

Applicando os logarithmos á fórmula achada, para tornal-a de fácil applicação, acha-se

ou

lg. c = lg. c + t. Ig.^p

Da ultima fórmula podemos facilmente deduzir outras tres, para calcular nas questões de juros compostos o capital primitivo, o tempo e a taxa de juros.

Essas fórmulas são :

lg. c=lg. C-t.lg.i^±L lg. C-lg. c

6> íoo

loo+i lg. C—lg. c lg- íõõ t

As quatro fórmulas achadas resolvem as quatro questões seguintes :

1? Determinar a somma ão capital e juros accumulaãos, conhecenão o capital primitivo, a taxa e o tempo.

2? Determinar o capital primitivo, conhecendo a somma do capital e juros accumulaãos, a taxa e o tempo.

3'! Determinar o tempo, conhecendo a somma ão capital e juros accumulaãos, o capital primitivo e a taxa. 4" Determinar a laxa, conhecendo a somma ão capital e juros accumulados, o capital primitivo e o tempo.

As applicações d'estas fórmulas não oíferecem difficuldade alguma, conhecendo-.se o uso ãas taboas ãe logarithmos, e para exemplo consideremos a seguinte questão :

Determinar a taxa a que se ãeve empregar a juros compostos o capital 600$000 para produzir 1:512$ 150 710 fim ãe 21 annos.

Substituindo na fórmula lg. ^—illf, em logar de

5 100 t

C, de c e de t os seus valores, acha-se

100-f-i_lg. 1512150—lg. 600000

g' 100 ~~ ~ 21

procurando os logarithmos dos numeros 1512150 e 600000 temos

100-j-i_6,1795948—5,7781513 ê' 100 — 21

eífectuando a subtracção indicada no numerador, vem

, 100+i 0,4014435

lg.-J—=—-

6 100 21

eífectuando a divisão indicada no segundo membro, acha-se

lg. 100+i =0,0191168 6 100

procurando o numero correspondente ao logarithmo 0,0191163, resulta

i^±Í=l,0450 100

ou

100+i=104,50

OU

i=104,50—100

ou, finalmente

i=4,5

A taxa é portanto 4,5. CAPITALISAÇÃO

279. Toda a questão ãe capitalisação tem por fim for mar um capital qualquer, por meio ãe prestações iguaes, feitas annualmente, accumu-lanão-se a essas annuiãaães os seus juros compostos correspondentes.

Sejam c a prestação annual, i a taxa de juros e f o numero de

annos.

A quantia c posta a render juros compostos no principio do primeiro anno, produzirá no fim de t annos :

No principio do segundo anno é posta a render juros compostos a quantia c durante t—1 annos, transformando-se no fim d'esse tempo em

No principio do terceiro anno é posta a render juros compostos a quantia c durante t—2 annos, produzindo no fim d'esse tempo

•(>+®r

e assim successivamente, dando a quantia c, posta a render juros no principio do ultimo anno, o capital accumulado. .

'(» + i=)

Sommando os resultados obtidos, teremos o capital accumulado no fim de t annos. Chamando A esse capital, acha-se

Vianna — Arithmetica 17 Escrevendo os termos do segundo membro em ordem inversa e pondo o factor commum c -f- em evidencia, temos

Ora, contendo o segundo parenthesis a somma dos termos de uma progressão por quociente crescente cuja razão él-j-^,e sendo a somma dos termos de uma progressão por quociente crescente igual ao quociente da divisão do excesso do producto do ultimo termo pela razão sobre o primeiro termo e o excesso da razão sobre a unidade, teremos

A:


100

•(^sHí^ás)'-1] W

1

100

Fazendo ~ = r, temos

c(l+r)[(l+r)'-l]

Suppondo (l-f-r^^m, acha-se

A_c(l + r)(m—1)

r i

Applicando os logarithmos, resulta lg. A = lg. c + lg. (1 + r) +jg. (m — 1) — lg. r (2)

Da ultima fórmula deduz-se lg. c = lg. A - lg. (1 + r) - lg. (m - 1) + lg. r (3) A fórmula 1, contendo as quatro quantidades A, c, i e t, e po-dendo-se sempre determinar o valor de uma d'essas quantidades, sendo conhecidas as outras tres, resolve as quatro questões seguintes:

1*. Determinar o valor ãe A. conhecenão-se c, i e t. 2a. Determinar o valor ãe c, conhecenão-se A, i e t. 3" Determinar o valor ãe t, conhecenão-se A, c e i. 4a. Determinar o valor ãe i, conhecenão-se A, c e t.

Cessas quatro questões as mais importantes são as tres primeiras, devendo-se considerar a segunda como principal.

As fórmulas 2 e 3 resolvem as duas primeiras questões.

REGRA DE ANNUIDADES

280. Esta regra tem por fim amortizar, no fim ãe um certo numero ãe annos, uma ãiviãa que vence juros compostos, por meio ãe prestações iguaes, feitas annucãmente.

Representando por D a divida a amortizar, por i a taxa de juros, por t o numero de annos e por a a annuidade, no fim do primeiro anno a divida será •

D + — = D( 1+ —)

1 ioo V r íoo/ \

transformando-se depois de paga a primeira annuidade em

D' = D ( l + — a

V ^ ioo/

chamando D' a divida, depois de paga a primeira annuidade.

A divida D' no fim do segundo anno transforma-se em

1 ioo \ 1 ioo / e, depois de feita a annuidade correspondente ao segundo anno, será

D"=D' (1 + — )— a

V 1 ioo / chamando D" a divida, depois de paga a segunda annuidade.

Substituindo na ultima igualdade em logar de D' o seu valor,

temos ou

Por um raciocinio semelhante se conhecerá ser o valor da divida, depois de paga a terceira annuidade :

\ ~ 100/ \ 1 100/ \ ' 100/ No fim de í annos, depois de paga a ultima annuidade, a divida

será

D(l + —V —a(l+—Yl! \ ' 100/ \ ' 100/

— í1*^)--.....-a^ + íoo)^0

e como depois de paga a ultima annuidade a divida deve extinguir-se, teremos

»

-a(1 + 4)--.....-41 + io-o)-a=0

ou ainda Contendo, porém, o segundo parenthesis a somma dos termos de uma progressão por quociente crescente, temos

( 1 + -LY— 1 d r 1+7—V—ax 1Q°;_=0

L 100J

100

D'esta igualdade facilmente se deduz

100V 100/

(1 + —V—1

\ 100/

Suppondo -— = r, acha-se " 100 '

_ Pr. (1 + r)t (1 + r)t-l

Applicando os logarithmos, resulta lg. a=lg. D-J-lg. r+t. lg. (l+r)-lg. (l+r)* — 1.

FIM