Página:Elementos de Arithmetica.djvu/165

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197. Para elevar ao quadrado um numero inteiro qualquer seguido ãe zeros, basta elevar o numero ao quadrado, prescindindo ãos zeros, e escrever â ãireita ão resultaão o ãobro ão numero ãe zeros.

Assim, sendo 347000=347 X 1000, segue-se que

347000?=3472X 10002=120409 X1000000=120409000000

198. O quadrado ãe qualquer potencia ãe um numero se acha ão-branão o expoente.

Com effeito, (am)2=amXam=a2m

199. Para que um numero inteiro seja quadrado ãe um outro, ê necessário que ambos tenham os mesmos factores primos, e que o expoente ãe cada factor- no primeiro seja o ãobro ão expoente ão mesmo factor no segunão.

Supponhamos a=b2

Os números a e b são compostos dos mesmos factores primos, porque se assim não fosse, dividindo ambos os membros da igualdade por um factor primo, somente de um d'esses números teríamos um numero inteiro igual a um numero fraccionario, o que não é possivel.

Representando por m, n e p esses factores primos, por x, y e z os seus expoentes em a, e por a?' y' e z' os seus expoentes em b, teremos

m* X iy X Pz = (m*' X n*' X Pz)2 =m2x' X«2y' X P2z' e portanto: x=2x',y=2y', z=2z'.

200. A ãifferença ãos quaãraãos ãe ãous números inteiros consecutivos é igual ao ãobro ão menor augmentado ãe uma unidade.

Sendo a + 1 e a os dous números, seus quadrados são : a2 -+--}- 2o + 1 e a2 ; e a differença dos quadrados é a2 -J- 2a -j- 1 — a2 ou 2a -f- 1, resultado que demonstra a proposição.

201. Não sendo possivel á primeira vista conhecer se um numero inteiro é quadrado, podemos no entretanto saber algumas vezes se não é quadrado, por meio dos seguintes caracteres :

1? O numero par não divisivel por é não ê quaãraão.

Porque sendo 2n a formula geral dos números pares, elevando Bn ao quadrado acha-se 4 n2, formula geral dos números pares que são quadrados, e como todos elles são divisíveis por 4, segue-se que os números pares que não satisfizerem a esta condição não serão quadrados.

2? O numero impar que diminuído de uma unidade não deixar um resto divisivel por d não ê quaãraão. Vianna — Arithmetica 1 j