As raizes quadradas d'esses números não podem ser fracções próprias, porque as fracções próprias só podem ser raizes quadradas de outras fracções ainda menores, nem números mixtos ou fracções impróprias .
Com effeito, se a fracção imprópria fosse raiz quadrada exacta do numero inteiro N, elevando essa fracção ao quadrado, teríamos
a2
f &
A fracção imprópria — podendo ser sempre considerada irreductivel, os seus termos a e b serão números primos entre si, e os seus quadrados a2 e b2 serão também números primos entre si (92); o primeiro membro da igualdade é essencialmente fraccionario, e, como o segundo membro é inteiro, a igualdade é impossível; e por consequência a fracção imprópria não pôde ser raiz quadrada exacta do numero inteiro N.
Esses números têm para raizes quadradas números incommensuraveis, que se obtém com a approxímação que se quizer.
Para acbar as raizes quadradas d'esses números, sem erro de uma unidade, basta acbar as raizes dos maiores quadrados contidos nelles. Assim, a raiz quadrada do numero 7248965
2692
7.24.89.6 5
4__46
3 2. 4 529
2 7 6 53S2
4 8 8.9 47 6 1
1 28 6.5 1 0 7 64
2101
é 2692, sem erro de uma unidade.
Vejamos como se obtém a raiz quadrada de um numero qual-quer A, sem erro de — de uma unidade de qualquer ordem.
AXns
Evidentemente A =
