Suppondo em primeiro logar um producto de dous factores aeb, demonstremos que
lg. ab = lg. a -j- lg. b
. Consideremos as duas progressões
tt 1 :' q : q2 : q3 : q4 : qB : etc. -i- 0. r. 2r. 3r. 4r. 5r. etc.
Em geral os numeros a e b não são termos' da progressão por quociente, mas se inserirmos entre todos os termos consecutivos d'esta progressão um grande numero de meios proporcionaes, entre esses termos encontraremos os numeros a e b, e quando não appareçam esses numeros existirão outros que poderão ser considerados como iguaes a elles, e a progressão por quociente tomara a seguinte fórma :
H-1 : c : c' : ... : q : d : d' : ... : q2 : a : a' ; ... : q3 : b : b' : ... : q4 : e : e' : ... : x
Inserindo-se também entre todos os termos consecutivos da progressão por differença o mèsmo numero de meios differenciaes, os termos d'essa progressão serão os logarithmos dos termos correspondentes na progressão por quociente, e essa progressão tomará a fórma
-i- o. lgc. lgc'....r.lgd.. lgd'...2r.lga.lga\. .3r.lgb.lgb'...4r.lge.lge'.....lgx
Suppondo na progressão por quociente um termo x, tão distante de b, quanto a dista de 1; na progressão por differença, o termo lgx será tão distante do termo lgb, quanto o termo lga dista de 0, e teremos (260 e 265).
1 : a : : b : X 0. lga: lgb.lgx
Applicando á proporção e á equidifferença as propriedades fun-damentaes respectivas, teremos
x = ab lgx = lga + lgb substituindo na ultima igualdade x pelo seu valor ab, resulta lg. ab = lg. a + lg. b
Facilmente se demonstra a propriedade para um producto de um numero qualquer de factores.
