estar comprehendido entre e , ou entre 10000000 e 100000, e portanto tem 7 ou 6 algarismos.
40. 3º Principio. — O producto de dous factores não muda, seja qual fôr a ordem dos factores.
Trata-se de demonstrar que .
O producto de 5 por 6 se obtém por meio da addição, isto é, sommando 6 parcellas iguaes a 5.
| 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 |
| 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 |
| 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 |
| 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 |
| 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 |
| 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 |
Em logar de sommar as seis parcellas, podemos decompôr cada uma d'ellas em suas unidades e depois reunir essas unidades.
Contando por linhas horizontaes, temos seis linhas, cada uma de cinco unidades, isto é, temos 6 vezes 5 unidades ou ; se contamos por linhas verticaes, temos 5 linhas, cada uma de seis unidades, isto é, temos 5 vezes 6 unidades ou ; mas quer contemos de um modo, quer de outro, o numero de unidades é o mesmo; logo, é o mesmo que .
41. 4º Principio. — O producto de tres factores não muda, invertendo a ordem dos dous últimos factores.
Trata-se de demonstrar que .
O producto de 3 por 4 se obtém, sommando 4 parcellas iguaes a 3; e como esse producto deve ser repetido 5 vezes, deve-se considerar a somma das 4 parcellas iguaes a 3, cinco vezes.
| 3 + 3 + 3 + 3 |
| 3 + 3 + 3 + 3 |
| 3 + 3 + 3 + 3 |
| 3 + 3 + 3 + 3 |
| 3 + 3 + 3 + 3 |
Contando por linhas horizontaes, temos 5 linhas, e, como cada uma é igual a , o resultado será ; se contarmos por linhas verticaes, temos quatro linhas, e como cada uma é igual a , o resultado será ; mas como é indiferente contar de um ou de outro modo, segue-se que .
