42. 5º Principio. — O producto de um numero qualquer de factores não muda, invertendo de qualquer modo a ordem dos factores.
Seja: .
Considerando os quatro primeiros factores como um só, ficam elles reduzidos a tres, a saber: 120, 6 e 7; pelo ultimo principio, podemos mudar a ordem dos dous ultimos, e teremos:
Se prescindirmos do ultimo factor, 6, e considerarmos os tres primeiros como um só, ficam tres factores 24, 5 e 7, e ainda, pelo ultimo principio, podemos escrever ; mas sendo , multiplicando os dous productos por 6, os resultados serão iguaes, e teremos:
Prescindindo dos dous ultimos factores, e considerando os dous primeiros como um só, ficam tres factores, 6, 4 e 7, e pelo ultimo principio teremos ; mas sendo , os dous productos multiplicados pelo numero serão iguaes, e teremos :
Se prescindirmos dos tres ultimos factores, ficam os tres factores 2, 3 e 7, nos quaes, mudando a ordem dos dous ultimos, temos ; mas sendo , os dous productos multiplicados pelo numero serão iguaes, e teremos:
Prescindindo dos quatro ultimos factores, ficam dous, 2 e 7, e como o producto de dous factores não muda invertendo a ordem dos factores, em logar de podemos escrever , e sendo iguaes esses dous productos multiplicados pelo numero , os resultados serão iguaes, e teremos:
Sendo o producto dos seis factores o mesmo, seja qual fôr o logar que occupe nesse producto o factor 7; e sendo applicavel aos outros factores o raciocínio que empregamos para o factor 7, fica demonstrado o principio.
