Os princípios mais importantes da theoria dos restos são :
71. 1? Principio.—O resto ãa divisão de um numero inteiro qualquer por 10m, ê o numero formado pelos m últimos algarismos ão numero ãaão.
Demonstração.—0 numero dado pôde sempre ser decomposto em duas partes, uma terminada por m zeros, e a outra formada pelos m últimos algarismos. A primeira parte é divisível por 10m, e a segunda, sendo menor que essa potencia de 10, é necessariamente o resto da divisão.
D'este principio deduz-se a seguinte:
Consequência.—Se o ultimo algarismo de um numero for zero, será esse numero divisível por 10, e portanto também por 2 e 5, que são iactores de 10.
Se os dous últimos algarismos de um numero forem zeros, esse numero é divisível por IO2 e por consequência pelos factores d'esse numero 2a e 5a.
Se os tres últimos algarismos de um numero forem zeros, esse numero é divisível por IO3, e portanto pelos seus factores 2® e 53.
Se, finalmente, o numero terminar por m zeros, é divisível por 2m e 5m.
72. 2? Principio.—O resto ãa divisão ãe um numero inteiro qualquer por 2 ou por 5, é igual ao resto ãa ãivisão ão numero formado pelo ultimo algarismo ão numero ãaão pelos mesmos numeros 2 e 5.
Demonstração.— Um numero inteiro qualquer pôde sempre ser decomposto em duas partes, uma d'ellas terminada por um zero e a outra formada pelo ultimo algarismo. Sendo a primeira parte divisível por 2 ou 5, segue-se que o resto da divisão do numero dado por um d'esses numeros é igual ao resto da divisão da segunda- parte por esses mesmos numeros.
Consequencia.— Para que um numero seja divisível por 2 ou
por 5, ê necessário e sufficiente que o ultimo algarismo represente um numero divisível por 2 ou por 5.
Os numeros divisíveis por 2 chamam-se^arcs,- e os não divisíveis,
impares.
A formula geral dos numeros pares é 2n; e a dos numeros impares, 2n-\-l ou 2n—1, sendo n um inteiro qualquer.
