Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/124

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As equações A = B e x = B' são equivalentes: porque pas- sa-se da primeira para a segunda, transpondo os termos em y e z para o segundo membro e dividindo pelo coefficiente de x, o que não altera as raizes da equaçã >. Além d'isto, as raizes do syslema (1) tornam idênticas as quantidades x e IV: logo podemos substituir x por B' nas outras equações do syslema (1); e como então resultam as equações do svstema (2), segue-se que as raizes do primeiro syslema são também raizes do segundo.

Reciprocamente, as raizes do segundo systema tornam idên- ticas as quantidades x e B': logo podemos substituir B' por x nas outras equações d'este systema; e corno então resultam as equações do systema fl), segue-se que as raizes do segundo sjs- tema são também raizes do, primeiro. Portanto os dois systemas são equivalentes.

1 «ã fl. As raizes de um syslema de equações não se alteram quando se substitue urna d'ellas pela equação que se nblem, com- binando-a por meio da somma ou subtracção com uma ou mais equações do mesmo syslema. Supponhamos as equações

A =B, C = D, E = F......(1).

Digp que o syslema A = B, C = D, A + C — E = B + D — F.. . (2)

é equivalente ao proposto.

As raizes do systema (1) são também raizes das duas primeiras equações do syslema (2), pois que estas equações são communs aos dois systemas. Além d'isto, as raizes do systema (1) tornam idênticos os dois membros de cada equação: A idêntico a B, C a D e E a F: logo tornam A + C — E idêntico a B + D — F, e por consequência são também raizes da terceira equação do systema (2).

Reciprocamente, as raizes do systema (2) são também raizes das duas primeiras equações do syslema (1), pois que estas equa- ções são communs aos dois sy stemas. Além d'isto, as raizes do systema (2) tornam idênticos os dois membros de cada equação: A idêntico a B e C a 1): logo tornam A + C idêntico a B + D; e como lambem fazem A + C — E idêntico a B +1) — F, neces-