Na analysè indeterminada podem apresentar-se dois casos prin- cipaes: 1.° o numero das incógnitas excede o das equações em uma unidade; 2." o numero das incógnitas excede o das equações em mais de uma unidade.
O primeiro caso principal involve vários casos, segundo temos uma equação a duas incógnitas, ou duas equações a tres incó- gnitas, e assim por deante. Consideremos em primeiro logar o caso mais simples, o de uma equação a duas incógnitas.
199. A equação mais geral do primeiro grau a duas incó- gnitas é
v ax + by — c,
a qual podemos sempre suppor simplificada de modo que a, b e c sejam primos entre si. Porque, se o não forem, procuramos o maior divisor commum de a, b e c, e dividimos os dois membros da equação por elle.
300. Quando acb não são primos entre si, a equação ax + by = c não admilte solução alguma inteira.
Com efíeito, designando por d um divisor commum de a e b,
teremos
a = a'd, b = b'd,
o que converte a equação em a'dx-\- b'dy — c.
Ora, dando a x e y valores inteiros, o primeiro membro tor- na-se múltiplo de d; e como o segundo membro não satisfaz a esta condição, segue-se que a equação não admitte soluções in- teiras.
SOl. Quando acb são primos entre si a equação ax+by=c admitte uma solução inteira. Nesta equação podemos sempre con- siderar c positivo; e as combinações, que se podem obter com os signaes de a ee b, são
ax + by — c, ax — by — c,
— ax + by — c, — ax — by — c.
Para demonstrar o theorema, basta considerar sómente uma d'estas equações; porque passa-se de uma d'estas equações para
