Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/184

Wikisource, a biblioteca livre
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa


cada uma das outras, mudando a: em — x, ou y em — y; e estas mudanças alteram sómente o signal das raizes e não o seu valor absoluto. Consideremos pois a equação

ax — ò«/«=c...............(1).

Resolvendo esta equação em ordem a x, vem

c + Jry a

Fazendo successivamente

y= 0, 1, 2, 3,----a — l,

resultam para c + by os valores

c, c+b, c + 2b, c + 3b,____c + (a—l)b.

Dividindo estes valores por a, digo que os restos são todos differentes. Porque sejam m e m' dois números menores que a, e por consequência c + mb e c + m'b dois dos dividendos consi- derados; e supponhamos que estes dois dividendos davam o mesmo resto: teríamos

c + mb —aq r,

c + mb — aq' 4- r.

Subtrahindo a segunda egualdade da primeira, vem ò(m — m') =a(q — q'),

a■ -a- a bím—m')

ou, dividindo por a,--— q — q .

a

Ora, sendo o segundo membro inteiro, a divide b(m — m)'; e como a é primo com b, deve a dividir m — m', o que não tem logar, por ser a > m — m'. São pois todos os restos differentes; e como são menores que a, e em numero egual a a, um d'elles ha de ser necessariamente zero.

Posto isto, seja (3 o valor de y que corresponde ao resto zero: será

-1 = a (numero inteiro),

d'onde aa — bp = c,