Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/188

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obtem-se immediatamente uma solução inteira, fazendo # = 0 e y = c.

Posto isto, supponhamos a equação

ax + by — c.................(1)

simplificada de modo que a, b e c sejam primos entre si, e tam- bém primos entre si a e 6; e seja a > b.

Resolvendo a equação em ordem á incógnita de menor coeffi- ciente vem

c — ax

y—b—

Dividindo c e a por b, chamando Q e ç os quocientes R e r os restos, vem

c = bQ + R, a — bq + r,

e substituindo estes valores em y, temos

bQ 4- R — bqx — rx R — rx

y = ----- = Q~~ -:

d'onde se vê que, para y ser inteiro, é necessário escolher para

R — rx

x valores inteiros taes, que tornem inteira a expressão———.

Designando, pois, por t um inteiro qualquer, estamos reduzidos a resolver em números inteiros a equação

R — rx

—-— = t, ou bt + rx = R..........(2),

equação mais simples do que (1), por ser r< b.

Resolvendo esta equação em ordem a x, que é a incógnita de menor coefficiente, vem

R — bt

x — —--.

r

Dividindo R e b por r, chamando Q' e q' os quocientes, R' e r' os restos, temos

R = rQ'+R', b = rq' + r',