obtem-se immediatamente uma solução inteira, fazendo # = 0 e y = c.
Posto isto, supponhamos a equação
ax + by — c.................(1)
simplificada de modo que a, b e c sejam primos entre si, e tam- bém primos entre si a e 6; e seja a > b.
Resolvendo a equação em ordem á incógnita de menor coeffi- ciente vem
c — ax
y—b—
Dividindo c e a por b, chamando Q e ç os quocientes R e r os restos, vem
c = bQ + R, a — bq + r,
e substituindo estes valores em y, temos
bQ 4- R — bqx — rx R — rx
y = ----- = Q~~ -:
d'onde se vê que, para y ser inteiro, é necessário escolher para
R — rx
x valores inteiros taes, que tornem inteira a expressão———.
Designando, pois, por t um inteiro qualquer, estamos reduzidos a resolver em números inteiros a equação
R — rx
—-— = t, ou bt + rx = R..........(2),
equação mais simples do que (1), por ser r< b.
Resolvendo esta equação em ordem a x, que é a incógnita de menor coefficiente, vem
R — bt
x — —--.
r
Dividindo R e b por r, chamando Q' e q' os quocientes, R' e r' os restos, temos
R = rQ'+R', b = rq' + r',
