Ora, os coefficientes r, r', r", .... que entram nas equações auxiliares (2), (3),.. . . são os restos successivos que se obtêm, procurando o maior divisor commum de a e b; e como estes dois números são primos entre si, necessariamente havemos de chegar a um resto egual á unidade; e seja r1' esse resto. Então a equa- ção (4-)
r'<" + <'=«
tem por solução inteira i — 0, e t' = R'; e por substituições
successivas vem
< = Q_-9" R" = A, x — Qr — A</+R" = B, y—Q —BV + A = C;
e d'esle modo temos achado, como queriamos, uma solução in- teira da equação proposta.
303. Portanto, para achar as soluções inteiras de uma equa- ção do primeiro grau a duas incógnitas, temos o seguinte processo: Simplifica-se a equação de modo que os coeficientes das duas incógnitas e o lermo conhecido sejam primos entre si. Se os dois coefficientes ainda não forem primos entre si, a equação não ad- mitte soluções inteiras; porém, se o forem, resolve-se a equação cm ordem á incógnita de menor coefficiente; exlrahem-se os inteiros, contidos na fracção que d'ahi provier; e, egualando a fracção res- tante a uma terceira incógnita., obtem-se uma segunda equação.
fí'esta equação tira-se o valor da outra incógnita, que entra na equação proposta; exlrahem-se os inteiros contidos na fracção que d'ahi resultar; e, egualando a fracção restante a uma quarta incógnita, obtem-se uma outra equação.
D'esta equação tira-se o valor da terceira incógnita, e assim por deante até chegarmos a uma equação, na qual o coefficiente de uma das incógnitas seja a unidade. Esta equação dá immedia- tamente o valor d esta incógnita, egualando a outra a zero; e depois por meio de substituições successivas obtemos uma solução inteira da equação proposta.
Finalmente, para achar as outras soluções inteiras, substituese a solução conhecida nas fórmulas geraes, em logar de a e fí, e faz-se successivamente t = 0, 1, 2.. ,
