Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/194

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de a e b, são

ax + by — c, ax — by — e, — ax + by — c, — ax — by = c.

Ora, a ultima equação não admitle soluções positivas; porque, dando a x e y valores positivos, o primeiro membro fica negativo, em quanto que o segundo é positivo.

Além d'isto, a segunda equação e a terceira constituem um só caso, porque em ambas a e b têm signaes contrários: portanto estamos reduzidos sómente ós duas primeiras equações.

911. Consideremos em primeiro logar a equação ax + by = c.

As fórmulas geraes, que dão todas as soluções inteiras, são x = ol + bt, y — $ — al:

e estas fórmulas mostram que, para x e y serem positivos, é ne- cessário dar a t valores inteiros taes, que tornem

a-ffa>0, £—at> 0,

a fi

d'onde t > — —, t < —,

b a

limites em sentido contrario: logo, dando a í todos os valores in- teiros comprehendidos entre estes dois limites, obteremos todas as soluções positivas da equação proposta; e como entre dois li- mites em sentido contrario existe sómente um numero finito de valores inteiros ou não existe nenbum, segue-se que, neste caso, a equação admiUe um numero finito de soluções positivas, ou mesmo nenhuma.

Se ambos ou algum dos limites for inteiro, podemos fazei t egual a esse limite; e então o valor correspondente de x ou de y

oc

é zero. Assim, se o limite--— for inteiro, podemos fazer

a

t —--—; e o valor de x é

b