Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/196

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a P

Advertiremos que os dois limites;--—e — não podem ser

b a

contradictorios. Com effeito, para os dois limites serem contra- dictorios, era necessário que fosse

S a

— <--- , ou b$ < — aa, ou a* + 6B <0,

a b

o que não tem logar; porque, sendo a e 3 uma solução inteira da equação, é a» + 6(3 — c, e por consequência aa + 6(3 positivo.

313. Consideremos agora a equação ax — by = c.

Neste caso as fórmulas geraes, que dão todas as soluções in- teiras, são

x—a + bt, y = $-\rat;

e estas fórmulas mostram que, para x e y serem positivos, é ne- cessário dar a l valores inteiros taes, que tornem

a + bl > 0, (3 + at > 0,

f3

donde t>--—, t>--,

b a

limites no mesmo sentido e ambos inferiores: logo basta apro- veitar o maior; e como todo o numero inteiro superior a esse limite satisfaz, segue-se que a equação admilte uma infinidade de soluções inteiras e positivas.

313. Para reconhecer, pois, se uma equação do primeiro grau a duas incógnitas admitte soluções inteiras e positivas, trans- forma-se a equação de modo que o termo conhecido seja positivo. Feito isto, se os coefficientes das duas incógnitas forem negativos, a equação não admilte soluções positivas; se„ forem positivos, a equação admitte um numero finito de soluções positivas ou mesmo nenhuma; e se tiverem signaes contrários, a equação admitte uma infinidade de soluções positivas.

Depois de termos reconhecido que uma equação admitte solu- i3