Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/217

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Reduzindo a equação á fórma ax* + bx + c = 0, vem 18»2 + 16 = 15»2 + 120» —212, 3r2 — 120» + 228 = 0. Applicando a regra, vem

60 ± v/3600 — 684 60 ± ^2916 60 ± 54

x —-

3 3 3

, , 60 + 54 114 „ 60 — 54

donde x? —---=—=38, st>" =--—- = 2,

o o o

Em lodos os exemplos antecedentes achámos duas raizes para a equação do segundo grau. Vamos agora demonstrar que: Uma equação do segundo grau a uma incógnita não admitte mais de duas raizes.

Supponhamos que a equação geral

a»2 + bx + c = 0

admitte tres raizes differentes: íc = a, x — [í, x=y. Substi- tuindo cada um d'estes valores na equação, temos

a*2 + 6a + c = 0, a|32 + 6|3 -f c === 0, oy2 + 6y + c = 0. . .(1).

Sendo a, (3, y tres raizes differentes, podemos suppor que é a>(3, e a > y; e subtrahindo então a segunda egualdade da pri- meira e do mesmo modo a terceira, resulta

fl(«í _ + _ p) = o, a(a2 — y2) + b(a — y) = 0,

ou

a(«+p) (a—P) +6(a— (3) = 0, a(a + y) (a — y) + 6(a — y) = 0.

Dividindo a primeira d'estas egualdades por a — (3, e a se- gunda por a—y, o que é permillido, visto que a — [i e a—>y não são nullos, vem

a(a + (3) + 6 = 0, a(a + y) + 6 = 0........(2),

e subtrahindo a segunda da primeira, a((3 — y) = 0.

Ora, o factor [i—-y não é nullo, logo ha de ser a = 0. Em seguida, qualquer das egualdades (2) dá 6 = 0, e qualquer das