Reduzindo a equação á fórma ax* + bx + c = 0, vem 18»2 + 16 = 15»2 + 120» —212, 3r2 — 120» + 228 = 0. Applicando a regra, vem
60 ± v/3600 — 684 60 ± ^2916 60 ± 54
x —-
3 3 3
, , 60 + 54 114 „ 60 — 54
donde x? —---=—=38, st>" =--—- = 2,
o o o
Em lodos os exemplos antecedentes achámos duas raizes para a equação do segundo grau. Vamos agora demonstrar que: Uma equação do segundo grau a uma incógnita não admitte mais de duas raizes.
Supponhamos que a equação geral
a»2 + bx + c = 0
admitte tres raizes differentes: íc = a, x — [í, x=y. Substi- tuindo cada um d'estes valores na equação, temos
a*2 + 6a + c = 0, a|32 + 6|3 -f c === 0, oy2 + 6y + c = 0. . .(1).
Sendo a, (3, y tres raizes differentes, podemos suppor que é a>(3, e a > y; e subtrahindo então a segunda egualdade da pri- meira e do mesmo modo a terceira, resulta
fl(«í _ + _ p) = o, a(a2 — y2) + b(a — y) = 0,
ou
a(«+p) (a—P) +6(a— (3) = 0, a(a + y) (a — y) + 6(a — y) = 0.
Dividindo a primeira d'estas egualdades por a — (3, e a se- gunda por a—y, o que é permillido, visto que a — [i e a—>y não são nullos, vem
a(a + (3) + 6 = 0, a(a + y) + 6 = 0........(2),
e subtrahindo a segunda da primeira, a((3 — y) = 0.
Ora, o factor [i—-y não é nullo, logo ha de ser a = 0. Em seguida, qualquer das egualdades (2) dá 6 = 0, e qualquer das
