Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/234

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sultados de signaes contrários, e seja a < (3. Imaginando que x varia por graus insensíveis desde a até o trinomio variará de uma maneira continua; e por isso, na passagem do valor positivo para o valor negativo, ha de necessariamente o trinomio annular-se para um certo valor de x, comprehendido entre a e (3. Este valor de x é pois raiz da equação ax2 bx + c = 0.

241. Se as raizes do trinomio do segundo grau forem reaes e deseguaes, o valor do trinomio tem o signal do coefficiente do primeiro termo para qualquer valor de x não comprehendido entre as duas raizes; e tem signal contrario para valores de x compre- hendidos entre as raizes. Sejam x' e x'1 as raizes do trinomio a»2 + bx + c, e seja x' > x": teremos

ax2 + bx + c = a(x—x') (x —■ x'r).

Posto isto, seja a um numero não comprehendido entre as duas raizes, isto é, maior ou menor do que cada uma d'el!as: substituindo x por a, os dois factores x — x' e x — x" ficam com o mesmo signal: logo o producto (x—x')(x—x") é posi- tivo, e por consequência o seu producto por a, isto é, o trinomio proposto terá o signal de a.

Seja, em segundo logar, p um numero comprehendido entre as duas raizes, isto é, x'>?> >x!': substituindo x por |S, o factor x — x' fica negativo e o factor x — xf' fica positivo: logo o pro- ducto (x — x')(x — x") é negativo, e por consequência o seu producto por a, isto é, o trinomio proposto terá signal contrario ao de a.

«813. Se as raizes do trinomio forem reaes e eguaes, o valor do trinomio tem sempre o signal do coefficiente do primeiro termo para qualquer valor de x, áifferente das suas raizes. Sejam x' e x" as raizes eguaes do trinomio: teremos

ax2 + bx -f c = a(x —x) (x — x') = a(x — íc')2;

.,m. e como a potencia do grau par de uma quantidade real é sempre positiva, segue-se que o factor (x — x')s ê positivo para qualquer valor real de x: logo o seu producto por a, isto è, o trinomio proposto terá sempre o signal de a. Exceptua-se o caso de sub- stituir por x o valor af, porque então o trinomio reduz-se a zero.