Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/257

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e se for b > 0, será

y ---- - — x, y" = — e por isso x—± V^—a, x = ± V— [á.

Logo: Quando for b- — 4ác > 0 e c positivo, a equação bi- quadrada tem as quatro raizes reaes ou imaginarias, conforme o coefficiente do segundo termo for negativo ou positivo.

3.° Caso. — 4ae = 0. Neste caso, y' e y" são eguaes e do mesmo signal contrario ao do coefficiente do segundo termo: logo conclue-se, como no caso antecedente, que:

Quando for b®—■ 4ac. = 0, a equação, biquadrada tem as quatro raizes reaes ou imaginarias, conforme o coefficiente do se- gundo termo for negativo ou positivo.

4.° Caso. 62— 4«c< 0. Neste caso, y1 e y" são imaginarios, e o mesmo tem logar em relação aos valores de x. Logo:

Quando for b2— 4ac<0; a equação biquadrada tem as quatro raizes imaginarias.

Recapitulando: a equação biquadrada tem duas raizes reaes, quando é c negativo; tem as quatro raizes rcues, quando é 62 — 4ac^>0, b< 0, c>0; e nos outros casos as raizes são todas imaginarias.

O primeiro membro de uma equação biquadrada, re- duzida á fórma ax4-f bx2-f c = 0, é egual ao coefficiente do pri- meiro termo multiplicado pelo producto de quatro factores binomios do primeiro grau em x, que se formam subtrahindo de x cada uma das raizes. Supponhamos a equação

ax^+bx-^-c — 0, e as fórmulas x—± \/x—± t/j/"=±3»

que dão para a equação quatro raizes eguaes e de signaes con- trários duas a duas, a saber:

a, —«, —p.

lemos

ax1 + bx1 + c = ay* + by + c = (n.° 235) = a(y— y) (y — y") = «(a2-«2) (x2 — (22) =a(oc—a) (® + «) (»-£) (»+p).

364. Relações entre as baizes de cma equação biqca- diiada e os seus coefficientes. 1," A somma dos quadrados