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cional, é necessario que desappareça o termo, que contém o factor ${\sqrt {d}}$, qualquer que seja $d$; e isto exige que seja

$c-a=0$, ou $c=a$.

Então a equação proposta converte-se em $a+{\sqrt {b}}=a+{\sqrt {d}}$, ou ${\sqrt {b}}={\sqrt {d}}$,

o que prova o principio. Posto isto, seja

${\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}$ .............(1),

sendo $x$ e $y$ quantidades racionaes, que temos de determinar, se for possivel. Elevando ao quadrado, temos

$a+{\sqrt {b}}=x+y+2{\sqrt {xy}}$,

d'onde, em virtude do principio antecedente,

$x+y=a;{\sqrt {b}}=2{\sqrt {xy}}$, ou $b=4xy$, ou $xy={\frac {b}{4}}$.

Mas, conhecida a somma e o producto das quantidades $x$ e $y$, sabemos já que estas duas quantidades são as raizes da equação do segundo grau

$z^{2}-az+{\frac {b}{4}}=0$;

e como esta equação dá

$z={\frac {a}{2}}+-{\sqrt {{\frac {a^{2}}{4}}-{\frac {b}{4}}}}={\frac {a}{2}}+-{\frac {\sqrt {a^{2}-b}}{2}}={\frac {a+-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}$,

será *******

d'onde se vê que, para x e y serem racionaes, é necessário que a* — b seja um quadrado perfeito.

Substituindo estes valores em (1), temos a fórmula de trans- formação

m "dg—|—+v—2--'