Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/275

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Ccmomações

Entre os arranjos ha alguns que differem sómente pela disposição dos objectos; outros, porém, differem, pelo menos, em um dos objectos: a estes últimos dà-se o nome de combinações ou productos distinctos. Portanto:

Combi.iações são os grupos que se obtêm, dispondo em todas as ordens posáive:s, um a um, dois a doi^, tres a tres, etc., um determinado numero de objectos, de modo que cada onjecto não entre mais do que uma vez em cada grupo, e aue os grupos diffiram entre si, pelo menos, em um dos objectos.

Assim, as combinações, que se podem formar com as letras a, b, c, duas a duas, são: ab, ac, bc.

Para reoresentar o numero de combirações de m letras p a p,

empregaremos a seguinte notação Z°m.

Gelei minar o numero de combinações de m leiras p a p. Supponhamos efíectuadas as combinações de m letras p a p. Permutando de todos os modos poss:veis as p leiras de cada com- binação, teremos todos os arrar.jos das in letras p a p, sem omis- são ou repet.ção alguma.

Em prineíro logar nenhum arra.ijo foi om ttido, porque um arranjo particular de p letras ha de corresponder a uma certa combinação, abstrahrndo da ordem das letras; e como permutamos de todos os modos possíveis as p letras d'essa combinação, ne- cessariamente ha de apparecer o arranjo considerado. Além d'isto, nenhum arranio foi reDetiuo, porque os arranjos, que correspondem á mesma combinação, diberem na disposição das letras; e os ar- ranjos, que correspondem a duas comSinações diversas, differem, pelo menos, em uma das letras.

Posto isto, o numero de permutações, que se podem obter com as p letras de uma combinação, é Pp; e como cada uma das outras combinações produz o mesmo numero de permutações, segue-se que o numero total dos arranjos de m letras p a p é egual a \'f, repetido tantas vezes, quantas são as combinações de m letras p a p; e por isso teremos

AP — P