Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/281

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§ 3.° Binomio de Newton

Chama-se binomio de Newton a fórmula que dá o desen- volvimento de uma potencia qualquer de um binomio. Para deduzir esta fórmula, temos (n.° 41)

[x + à) (x + b) (x + c). . . . (x -f l)

= a;™ + Ax™—1 + ite'"'-'2 + Cxm~3 +____+ abe____l,

s<*do A = « + ft + c + ....+Z,

B = ab + ac 4- ad + .. . ., C = abe + abd + abe +. .,

Fazendo a = b = c=d. ...=/, temos (x + a){x + b)(x + c). . .=(x+a)m, A = a + a + a +......= ma,

B = a2 + a2 + a2 + ... = a2 x C* = a2,

m 1.2

C = a3 + a3+ as.....= a* x C3 = ^feçQfrLig fl,

»« 1.2.3

a&c.....l — am.

Substituindo estes valores na fórmula antecedente, vem

. m (m — 1) _ (x + a)m = xm + rnaxm~l + —— a V»-2 \ |2

m(m — l)(m— 2) _ + —i——-- aV"-3 + . .. + a».....(1).

1 . ú .u

É esta a fórmula conhecida com o nome de binomio de Newton, e que aqui demonstrámos sómente para o caso do expoente m ser inteiro e positivo.

Para obtermos o desenvolvimento de (x — a)m, basta em (1) mudar a em — a; e como a potencia do grau par é sempre po- sitiva, basta mudar sómente o signal aos termos em que a entra