Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/289

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Designando por a á rennião de todos os termos da raiz, excepto o pri- meiro, será a raiz representada pela expressão x-\-a, e teremos

P = {x -f a)m = a;"'4- max"-* + —p ~ - a?x"-* ..

1.2......ii

= «■»+ ma;™-1 + a," +...) + (a./ 4.^4-.. ..)*

H-----h —g--77 .TTTir a (a! + 35 +•■•)" + •■ • (!)•

No segundo membro d'esta egualdade x'" é o termo que contém a letra principal com maior expoente, e por consequência é o primeiro termo de P. Com efíeito, temos

xm = = Xm~~n Xn '

e comparando este termo com o termo geral

ro(ro-i)...(ro-n+i) .„_ . ,

. g Oj t*j •— ti - X\Jj "j

vemos que estes dois termos têm o primeiro factor xm~n commum, em quanto que o,segundo factor x" do primeiro contém a letra priucipal com um ex- poente maior do que o factor Ax'" do segundo.

Designando pois por p o primeiro termo de P, teremos

p = xm, e por consequência x = V p.

Conde se conclue que: para obter o primeiro termo da raiz, devemos extrahir a raiz do grau m ao primeiro tei ■ to do polynomio proposto. Tirando xm aos dois membros de (1), vem

P — af = R = mar-' (x1+ x"+...) 4- X">-\x< +

sendo R um polynomio conhecido, que supporemos ordenado do mesmo modo que o polynomio proposto.

No segundo membro d'esta egualdade mx"<-' .x' é o termo que contém a letra principal com maior expoente, e por consequência é o primeiro termo de R. Com efíeito, temos

mxm-1 _ x< = mxf~"+"~'. x' — xm-"x'. mx"~';

e comparando este termo com o termo geral

Axm—= Xm~t'X* A HL'U~'

vemos que estes dois termos têm o primeiro factor xm~"x' commum, em quanto que o segundo factor mx"-' do primeiro contém a letra principal com um expoente maior do que o factor Ax'"-' do segundo. Designando pois por r o primeiro termo de R, teremos

r

r = mxm~f .x1, e por consequência x' = ——-t.