Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/290

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D'onde se conclue que: para. obter o segundo termo da raie, subtrahe-se do polynomio proposto a potencia m do primeiro termo da raiz ; e divide-se o primeiro termo do resto resultante por m vezes a potencia do grau m — 1 do primeiro lermo da raiz.

Designando agora por b a reunião dos dois termos, já conhecidos, da raiz, e por c a reunião dos termos desconhecidos, será a raiz representada por b + c; e teremos

P = (b + cf = Ir" + mb™-'1 c + b»-'2 c* +...

1 4

= (a: + x')m + m (x -f a?')"1-1 [x" + x"1 + .'..)

f 4- m(tm~1} (x + x'r-l(x" +x>" + ...)2 + ...,

ou, tirando (x-{-x')m a ambos os membros,

P -i- (a; + x')m = R' = ?n(x + x')m-> (x" -f x"'-\-...)+...

Prova se como no caso antecedente que m.rv-Kx" é o termo do segundo membro, qoe contém a letra principal eotn maior expoente; e por conse- quência é este o primeiro termo do resto R'. Designando pois por r' o pri- meiro termo de R' teremos

r'

r' — mxm.x", e por isso x'1 =----.

1 mXm-\

D'onde se conclue que: para obter o terceiro termo da raiz, subtrahe-se do polynomio proposto a potencia m da raiz a -hada; e divide-se o primeiro termo do resto resultante por m vezes a potencia m — 1 do primeiro termo da raiz.

Por um raciocínio simiihante se acham os outros termos da raiz. Portanto:

Para extrahir a raiz do grau m a um polynomio, ordena-se segundo as potencias crescentes ou decrescentes de uma letra; extrahe-se a raiz m do seu primeiro termo, e assim, se obtém o primeiro termo da raiz, que se eleva á potencia m, e se subtrahe. esta do polynomio proposto.

D'este modo obtem-se um resto, cujo primeiro termo, dividido por m vezes a potencia m — 1 do primeiro termo da. raiz, dá o segundo lermo.

Eleva-se á potencia m a raiz já arhada; e subirahindo o resultado do polynomio proposto, obtem-se um segundo resto, cujo primeiro termo, dividido por m vezes a. potencia m — 1 do primeiro termo da raiz, dá o terceiro Urino, e assim por de.anle.

Fazendo nesta regra m = 2,3,4..obtemos os processos para extrahir a raiz quadrada, a raiz cubica, etc.

Exemplo: extrahir a raiz quarta de 16a8—90«66?4-216qV/—216«:6C+ 8168.

16a8 — 96u662 + 216o,61 — 216 a2&6 -f 81 b» — Via8

— %a«lf -f 216«V/' — 216aW 4- H\b» 16a8 + 96fl°62 — 216aW -f- 2t6a266 — 8168

2«2 — 3fc2

4(2«2)3 = 32a6

0

(2a2 — 362)4 = (2a2)4 — 4(2a2)3.3 b°- + 6(2«2)2 (362,2 — 4. 2a2(362)3

4- (362)4 = 16a8 — 96a«b2 -f 216a,*b'> — 216a2ft6 + 816»