Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/296

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t

neamente estes valores em fracção conl.nua, ate chegarmos a d( ;s quocientes differentes. Feito isto, os termos commrns aos dois desenvolvimentos pertencem ao desenvolvimento pedido.

Com effeito, seja x urna quantidade comprehend:da entre y e z, isto é,

y<x<z................(1);

e supponhamos que y e z, desenvolvidos em fracção continua, dão

1 1 1

y' y y"

í í i

Estancio x compreliendido entre y e z, a sua parte inteira é a. Porque, se a parte inteira de x fosse maior do que a, seria x>z; e se fosse menor, sei ia x<y, contra a hypoihese Teremos pois

'■'J , 1

r»=a-r —r. x'

Substituindo em (1) os valores de y, x e z, vem

1 1 1111

a+—r<a-\-- <a + —ou —r<-7<-r, y x' z y x z

e por consequenca y'>jfb >z'................ (2).

Ora, estando x' comprehendHo entre y' e z', e tendo y' e z' a mesma parte inteira b, será também b a parte inteira de x'; e por isso

Substitu ndo em (2) os valores de y', x' e z', vem 1,1,1 111

y x z' y' x z'

e por consequência y1' < x" z'1.

Estando pois x*'\ çomprehendide entre y" e z", e tendo y>' e z"