Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/347

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HPT—T^rilPMIt^P

wni

344 ai.geura elementar

a (1 + r)1

donde dr(i +r)n=a[(l +r)n—1],

ou

dr (1 +r)n—1

Ora, sendo o segundo membro d'esta equação um quebrado improprio, também o primeiro o será; e por consequência a > dr.

Isto mesmo se conbece á priori. Pois que, sendo dr o juro da divida contrabida, se fosse a<dr, a annuidade chegaria só- mente para pagar parte dos juros; e então a divida, em logar de ser amortisada, iria augmentando.

Se o valor de n, dado pela fórmula (3), for fraccionario, por

1....... .

exemplo, n—n'-\--, indica isto a impossibilidade de extinguir

a divida com annuidades eguaes a a, pois que n' annuidades não chegam para pagar a divida, e n1 + 1 annuidades são de mais.

Neste caso podemos substituir na fórmula (2) n por n' ou por n'+ 1, e calcular cvalor de a que pouco differirá da annuidade dada.

4.° Determinar r, sendo dados d, a e n. Da fórmula tira-se

dr (I -f rf — a (1 + r)n + a = 0,

equação do grau n + 1 em relação a r, a qual não sabemos re- solver pelos processos expostos.

Neste caso podemos obter um valor aproximado de r por meio de um processo, chamado methodo das aproximações successivas por substituição.

Para isso, da equação tira-se

d d(l + r)n'

como a, em geral, é muito menor que d, e (1 -Kr)11 augmenta

a ,

com n, segue-se que ^ ^ tem um valor muito pequeno; e

por isso podemos tomar para primeira aproximação

, a

sendo r' um valor aproximado por excesso.