Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/359

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entre d duas letras ou dois Índices. Supponhamos as duas permu- tações

Aav Baq C Aa(j Ba?) C

que differem pela troca dos Índices p e q, e nas quaes A, B e C representam as partes communs.

Os índices dos elementos, contidos em A e C, conservam nos dois grupos a mesma ordem de grandeza em relação a p e q; e por consequencia a differença dos números de inversões nos dois grupos é a mesma que em

av Ba aq BOp .

Procuremos o numero de inversões no primeiro grupo. Para isso, seja p>q; Pi o numero de Índices de B inferiores a p; Pa o numero de Índices de B comprehendidos entre p e q; (ig o numero de índices superiores a q. Comparando p com cada um dos índices de B inferiores a p, temos Pi inversões; e comparando corn q cada um dos Índices de B superiores a q, temos p3 inver- sões. Portanto o numero de inversões do primeiro grupo é Pi +- Pg.

Procuremos agora o numero de inversões do segundo grupo. Comparando p com q e com cada um dos Índices de B inferiores a p, temos pj + 1 inversões; comparando q com cada um dos índices de B comprehendidos entre p e q, temos fa inversões; comparando com p cada um d'estes mesmos índices, temos tam- bém pa inversões; e comparando com p cada um dos índices de B superiores a q, temos P«j inversões. Logo o numero de inver- sões do segundo grupo 6 pj 4- 2pg + fts + 1; e a differença dos dois números de inversões é 2p2 + 1, que é um numero impar. Portanto as duas permutações, differindo em um numero impar de inversões, pertencem a classes differentes.

D'este principio conclue-se que:

1Nas permutações de n objectos, ha tantas de primeira classe como de segunda. Porque a cada permutação corresponde sempre uma outra, que se deriva cVella pela troca de dois índices.

2.° Duas permutações, que dijferem entre si por um numero par de trocas de dois Índices, pertencem á mesma classe.

3.° Duas permutações, que differem entre si por um numero impar de trocas de dois Índices, pertencem a classes differentes.