Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/360

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351. Definição dos determinantes. Supponhamos n4 quan- tidades ou elementos, dispostos em n linhas horizontaes e em n columnas verticaes:

«1 Cl .... [y

«z h ■■■■ h

«3 c3----h

(In &11 C»1 • . . . lt}•

Cada letra é affectada de um indice; o indice designa a linha, e a letra designa a columna a que o elemento pertence. Assim í/3 é um elemento da terceira linha e da quarta columna. Posto isto:

Determinante de ri1 objectos é a somma algébrica de todos os productos obtidos com esses objectos, tomados n a n, de modo que cada producto contenha um elemento de cada linha ou co- lumna e não contenha mais do que um; e de modo que cada producto tenha o signal + ou o signal—, conforme as permuta- ções das letras e dos Índices forem da mesma ou differente classe.

3§8. Lei ãe formação de um determinante. Para desenvolver um determinante, multiplicam-se os elementos da diagonal, que parte do primeiro para o ultimo elemento: o producto a\ bic$...ln ê o primeiro termo, ou o termo principal do determinante. De- pois, permutando de todos os modos possíveis as letras sem tocar nos índices, obtemos todos os outros termos do determinante, que se devem tomar com o signal■+ ou com o signal—, segundo a permutação das letras for de primeira ou de segunda classe.

Os termos, assim obtidos, evidentemente contêm um só ele- mento de cada linha ou columna; porque qualquer d'elles contém sómente uma vez cada letra e sómente uma vez cada indice.

Além d'isto os termos, assim obtidos, têm tainbem os signaes determinados pela definição. Porque, considerando um termo obtido pela definição, como a ordem dos factores ê arbitraria, podemos, sem alterar o signal do termo, escrever os seus ele- mentos de modo que os Índices tenham a ordem numérica 1, % 3,... .n. Então estes Índices formam urna permutação de pri- meira classe; e por consequência o termo será positivo ou nega- tivo, conforme a permutação das letras for de primeira ou de segunda classe.