Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/44

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Supponhamos o polynomio inteiro em relação a x f[x) — A(,zm 4 A, xm ~1 + A^x™-'* 4. . . -f Am _ íx + Am.

Como o divisor x—a é do primeiro grau em x, a divisão po- der-se-ha continuar em quanto o resto obtido contiver x; e por consequência o resto final da operação, se o houver, ha de ser independente de x. Seja pois R esse resto, e Q o quociente in- teiro cm x: teremos

f\x) — [x — a)Q + R,

egualdade que tem logar para todos os valores de x. Além d'isto, sendo R independente de x, podemos dar a x um valor qualquer sem alterar o valor de R: fazendo portanto x — a, o valor de R não muda, e vem

isto é, o resto R egual ao resultado da substituição de x por a no polynomio proposto.

D'este tbeorema conclue-se que: um polynomio inteiro em x ê divisível por x—a, quando for nullo o resultado da substituição de x por a nesse polynomio. Porque este resultado é precisamente o resto da divisão.

Assim, o resto da divisão do polynomio

&xs — 3a;2 4- 4a; — 8 por x — 3 é

R = S.33 — 3.3244.3 — 8 = 112.

Do mesmo rnodo, o resto da divisão do polynomio

3xl — 2a;3 4 4a;2 — 5a; — 38 por x — 2 é

R = 3.24— 2.23 4 4.2®— 5.2 — 38 = 0$

e por consequência o polynomio é divisível por x — 2.

57. Lei dos lermos do quociente da divisão de >m ■polynomio inteiro em x por x — a. Dividamos por a; —a um polynomio inteiro em x do grau m:

Ani:n4 Ai,af*-t+ ■A2|as»,-2fí A3|a;m-34-...4- Km-\\x-\ A„

+«A0| 4-«Bi! 4-' «1*2! 4-«Bm—2| -f-«B„_i

A{pen-i+ híxm'iJrB-ix'n- -j-. . --j— Bm—i