Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/45

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sendo

Bi — Ai + ff A,, = A2 + «li,

B3 = Aa -j-

Km—j = Am—1 4" «Hm 1 R = A™ + fllSm-1-

m

Examinando os termos do quociente e o rcslo, reconhece-se a seguinte lei :

O expoente de x no primeiro termo do quociente é m — l, e nos ternos seguintes vcw diminuindo de uma unidade até ser zero no ultimo.

O coefficiente do primeiro terno é o coeficiente do primeiro termo do divi- dendo, e o coefficiente de um termo qualquer é egual ao coefficiente da mesma ordem no dividendo, mais a multiplicado pelo coefficiente do termo antecedente do quociente.

Finalmente o resto da divisão é egual ao ultimo termo do dividendo mais a multiplicado pelo ultimo termo do quociente.

Advehtencia. Das egualdades antecedentes podemos deduzir o theorema do n.° 56. Com effeito, multiplicando aquellas egualdades respectivamente por a1"-1, am -\ am~3,.. .a1, a°, vem

Bia™-1 — A, n'»-1 -f- A0am B2a"*—5 = A-jim~'2 + Bia™—1 B3am-3 = A3am-3 4- ltó'"-'2

Bm-ia = A„_i a + B„_2a~ R = Ara -j- Bm_iff.

O primeiro membro de cada uma d'estas egualdades., excepto o da ultima, é termo do segundo membro da seguinte : portanto sommando as egual- dades e tirando os termos communs, vem

R = A(lam -f-Aia"-1 + A-m™-'2 -f... + A„_i a + Am .

58. Para generalisar a lei antecedente, vamos demonstrar que se ella tiver logar para um termo qualquer do quociente, terá também logar para o termo seguinte- Seja Pa?"-* o termo do quociente da ordem 1c: o primeiro termo do rgsto correspondente é

(A/t + nP) xm~", e por cousequencia o termo seguinte do quociente é

(At + «P) x'—^,

termo em que se observa ainda a mesma lei. Tendo, pois, a lei logar para os tres primeiros termos do quociente, terá lambem logar para o quarto, e assim por deante.