Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/46

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59. Exemplos: 1." Achar o quociente e o resto da divisão de 4a5 — KIt'1 + Ca:3 — 7x* + 9a; — 11 por x — 2.

Temos Q = 4a;1 + Aa;3 + Tia-2 + Ca; + D,

em que é

A = —10 + 2.4 = — 2, 6 = 6 + 2.-2=2, C = — 7 + 2.2 = —3,D = 9 + 2.-3 = 3, e por consequência

Q = 4^ — 2a;3 + 2as2 — 3x + 3, R = — 11 + 2.3 = — 5.

2.° Achar o quociente e o resto da divisão de

4a® — 2a;2 + 8 por x + 2 = x — ( — 2).

Temos Q = 4a:4 + Aa:3 + Ba;2 + Ca; + D,

em que é

A = 0-2.4 = — 8, B = 0 — 2.-8 = 16, C = —2 —2.16 = —34, D =0-2.-34= 68, e por consequência

Q = kx" — 8a;3 + 16a;2 — 34a; + 68, R = 7 — 2.68 = — 129.

€»©. Prova-se como no n.° 56 que:

O resto da divisão de um polynomio inteiro em x por x + a é egual ao resultado da substituição de x por — a nesse polynomio. L'aqui conclue-se que:

Um polynomio inteiro em x è divisível por x + a, quando for mdlo o resiátado da substituição de x por — a nesse polynomio.

61. A differenças das potencias do mesmo grau de duas quan- tidades é divisível pela differença das mesmas quantidades, isto é, xm — am é divisível por x — a.

Com effeito, o resto da divisão de xm—am por x—a é egual ao resultado da substituição de x por a no polynomio dividendo, isto é, o resto é

Ií=rt™ — am = 0,

o que prova o principio enunciado.

Isto mesmo se prova, effectuando directamente a divisão, como