Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/48

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primeiros termos do quociente e dos tres primeiros restos; e por hducçfio concluimos que ella tinha logár para todos os termos do quociente e para todos os restos.

Vamos agora generalisar a lei, demonstrando que, se ella tiver logar para um lermo qualquer do quociente e para o resto cor- respondente, terô também logar para o termo oo quociente e resto seguintes.

Supponhamos que a lei tem logar para o termo do quociente da ordem k, e para o res'o correspondente: será a/:_1.-r,n—o lermo do quociente e ahxm—h'— a'"' o resto. Dividindo esle resto por x—a, temos

al,xm—l'_am x — a + Cfc+1£Cm—7c—1 alíxm—k—\

ah+\xm-h-l—a»,i

Ora, passa-se do termo ak~,x'ni~k para o termo seguinle akxr»—k— augmentando de uma unidade o expoente de a e di- minuindo o expoente x tombem de uma unidade: o que mostra que a lei do quociente tem a.nda logar. Além 1 isto, reconhece-se facilmente que se verifica tamóem a le. dos restos.

Temos pois demonstrado que, se a lei tiver Jogar para um termo do quociente e para o resto correspondente, tem também logar para o termo do quociente e resto seguintes. Mas reconhecemos que a lei è verdac^ira para os tres primeiros termos do quociente c para os tres primeiros restos: logo é também verdadeira para o quarto te>-mo do quociente e para o quarto resto e assf:n por deante.

Pi. Exemplos:

/.«_h6

—— = a5 -t- a46 + íi362 + a%3 t alA 4 <i — b rm— 1

-= Xn f + Xm~2 + Xm~3 + . . . + X + 1,

X-1

sjqÒ ,, „., qÔ ^jií _ ^já

=4' (x3) 4 + (a3) 1 (x3) 3 + (a3; 2jgft 2 4- (a3)3 (x;t)1 +■ (a3)* = rn'+ a3:-'* + aW + a