Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/74

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Estes resultados mostram que a lei tem logar para um bino- mio e para um trinomio.

Vamos agora generalisar a lei, demonstrando que, se ella tiver logar para um polynomio de m termos, terá também logar para um polynomio de m + 1 termos. Seja

P = a + b + c + ...\k + l

um polynomio de m + 1 termos: designemos por A a somma dos m primeiros termos, isto é,

A —a + b+ c + .. .-f/c,

e supponbamos que a lei tem logar em relação a este ultimo polynomio: será

A2=-«« + ò2 + c? + . . .-+ le2 + 2ab +• 2ac +. . , + 2a/c + 2bc+. . . + 2b/t + .. ..

Posto isto, substituindo no polynomio P a somma dos m pri- meiros termos por A, temos

P = A + l.

ou, quadrando, Ps = A2 + P + 2Al.

Mas, por hypothese. A2 contém a somma dos quadrados dos m primeiros termos do polynomio P: logo A2 4 P contém a somma dos quadrados de todos os seus lermos. Além d'isto, por hypo- these A2 contém também os duplos productos dos m primeiros termos dois a dois: e como 2Al contém os duplos productos dos m primeiros termos pelo ultimo termo l, segue-se que A'i + 2Al contém os duplos productos de todos os termos dois a dois.

Temos pois demonstrado que, se a lei tiver logar para um po- lynomio de m termos, tem também logar para um polynomio de m + 1 termos. Mas reconhecemos que a lei é verdadeira para um polynomio de tres termos; logo é lambem verdadeira para um polynomio de quatro termos, e assim por deante. Fxemplo :

(8a + 2&2-5c+4fli3)2 = 9a2+4/>4+25c2 i I6«2ò«+12aò2-30ac + 2ia2&3-20 Pc+ 16af)8-40a&3c.

Adveutencia. Designando por Sa2 (lê-se: sigma de a2, ou sommatorio de «2) a somma dos termos analogos a a2, isto é,